Teoría de Caida Libre y Tiro Vertical

En física, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de uncampo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídasreales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo es frecuente también referirse coloquialmente a éstas como caídas libres, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general despreciables.

El concepto es aplicable también a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad, como un disparo vertical; o a satélites en órbita alrededor de la Tierra o de cualquier otro cuerpo celeste. Otros sucesos referidos también como caída libre lo constituyen las trayectorias geodésicas en elespacio-tiempo descritas en la teoría de la relatividad general.

 Caída Libre totalmente vertical

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) (aproximadamente porque la velocidad aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:

donde:

a_y, v_y\;, son la aceleración y la velocidad verticales.
f\;, es la fuerza de rozamiento fluido dinámico (que aumenta con la velocidad).
  • Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la ecuación diferencial 1) para las velocidades y la altura vienen dada por:

donde v0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de caída.

  • Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluido dinámica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico kw:

En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial 2):

Nótese que en este caso existe una velocidad limite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:

  • Un análisis más cuidadoso de la fricción de un fluido revelaría que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:

Donde:

C_d\;, es el coeficiente aerodinámico de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo.
A_t\;, es el área transversal a la dirección del movimiento.
\rho\;, es la densidad del fluido.
\epsilon = \mathrm{sgn}(v_y)\;, es el signo de la velocidad.

La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación 3):

La solución analítica de la ecuación diferencial 3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solución de velocidades para ambos casos es:

Donde: \alpha = C_d\rho A_t/2m\;.

Si se integran las ecuaciones anteriores para el caso de caída libre desde una altura h_0 y velocidad inicial nula y para el caso de lanzamiento vertical desde una altura nula con una velocidad inicial v_0 se obtienen los siguientes resultados para la altura del cuerpo:

Caída libre (v_y(0)=0 y y(0)=h_0):

El tiempo transcurrido en la caída desde la altura y=h_0 hasta la altura y=0 puede obtenerse al reordenar la ecuación anterior:

Lanzamiento vertical (v_0=v_0 y y(0)=0):

Si la altura h_0 es aquella en que la velocidad vertical se hace cero, entonces el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el instante en que se alcanza la altura h_0 puede calcularse como:

Se puede demostrar que el tiempo que tarda un cuerpo en caer desde una altura h_0 hasta el suelo a través del aire es mayor que el que tarda el mismo cuerpo en alcanzar la alura máxima de h_0 si es lanzado desde el suelo. Para ello basta con probar la desigualdad siguiente:

sabiendo que \mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)\in\left[1,+\infty\right) y que \mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)\in\left[0,\cfrac{\pi}{2}\right]

Intuitivamente la diferencia de tiempos es clara, en el tiro hacia arriba la velocidad inicial es mayor por lo que la fuerza de rozamiento promedio a lo largo de la trayectoria también es mayor que la que se alcanza en tiro hacia abajo.

O si por alguna razón no entendiste esto te dejo acá en el link un PDF que te va a aclarar algunos conceptos

caidalibre

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Un comentario en “Teoría de Caida Libre y Tiro Vertical

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